Vấn đề của số chấm động và số nguyên trong ngôn ngữ lập trình C++ trên board mạch Arduino

Trước tiên, chúng ta CẦN PHẢI HIỂU rằng, máy tính chúng ta không thể lưu trữ số thực. Nó chỉ lưu trữ được số thực chấm chấm động. Vậy vì sao máy tính không lưu trữ được số thực? Khái niệm số thực chấm động là gì? Vì sao máy tính lại sử dụng nó để tính toán số thực trong máy tính.

Thực tế, số thực có hai phân loại: số vô tỉ và số hữu tỉ. Số vô tỉ là số không thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số giữa 2 số nguyên, ví dụ như số π (số Pi). Vậy nên chúng ta cũng hiểu là với một máy tính hữu hạn chúng ta không thể nào biểu diễn được số thực nhánh số vô tỉ rồi! Thế còn số thực hữu tỉ thì sao? Ví dụ:

1412.669669669669669669669669669669669669669669669669669669

Đó thực sự là một số có giá trị không quá lớn nhưng vấn đề của nó chính là cái phần thập phân lên đến hàng chục số!?! Vì sao máy tính không lưu được cái mớ đó vào mà xử lý?

Cùng theo dòng lịch sử

• So sánh ngắn giữa các máy tính ENIAC và UNIVAC, liên tưởng đến Arduino

Máy tính thời đầu, các máy tính sử dụng hệ cơ số 10 và bóng đèn chân không (nôm na lúc đó chưa có transitor nên chơi bóng này để tính toán á). Vậy nếu muốn lưu số trên vào máy tính này, chúng ta chỉ việc bật tắt số lượng đèn là được. Nhưng từ từ, giá của một cái bóng đèn chân không là bao nhiêu tiền? Đó là hàng đơn vị đến hàng chục đô la Mỹ thời đó (thế kỷ XX). Vậy nếu chỉ để lưu trữ cái số đó thôi chưa kể việc tính toán thì ta cũng thấy hơi bị tốn rồi đúng không nào. Và bản chất của các tư bản là không đầu tư vào những thứ không sinh lời, nghĩa là bạn chẳng cần quan tâm đến hàng chục chữ số kia, vốn dĩ nó vô nghĩa.

Kết thúc hệ máy tính thứ 1 (1945 - 1956), hai nhà khoa học Hoa Kỳ Jack Kilby và Robert Noyce đã phát minh ra IC, chính thức mở ra kỷ nguyên của thế giới máy tính điện tử mới! Đó là kết quả của "Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập" (triết học Mác - Lênin). Cụ thể: Bóng chân không đã chuyển mình lên thành transistor, hệ 10 đã chuyển xuống còn hệ 2,... ngoài ra cái vụ lập trình chuyển từ việc đục lỗ sang lập trình bậc cao (chương trình nhúng). Từ đó đặt tiền đề cho các hệ máy tính thứ 3, 4 sau này.

Các bạn thấy đấy, máy tính thời nay qua quá trình biến đổi lịch sử để thích nghi với thời đại cùng giá thành rẻ để bạn có thể sở hữu để đọc bài viết này. Vì vậy, việc tiến hóa từ hệ 10 lên thành hệ 2 đã giúp chúng ta tiết kiệm chi phí tính toán và sản xuất. Nhưng vấn đè ở chỗ, với hệ 2 này, chúng ta phải chấp nhận một sự thật, đó là máy tính của chúng ta không thể nào lưu được chính xác đến 10 chữ số thực phân hư hồi hệ 10 với máy tính ENIAC hay UNIVAC. Nhưng, chúng ta có thể xấp xỉ nó với độ chính xác lớn đến từ 5 - 6 chữ số thập phân, một tỉ lệ hoàn toàn tối ưu trong việc phóng tàu vũ trụ . Qua đó, mình muốn truyền đạt, số thực chấm động chính là kết quả của quá trình xấp xỉ giữa cái thực tế cần với cái lý thuyết cần. Một bên thực tế khoa học chỉ cần đúng một cách tương đối và chấp nhận sai số, còn một bên là thích cái tuyệt đối (truyền thống thôi nha, chứ các nhà xác suất thống kê thì tương đối sai số vẫn ok hehe). Ví dụ như: chúng ta tính toán số Pi thì chơi 3.14 là được òi, kết quả chấp nhận được, còn nhà toán học thích sự tuyệt đối nên dành thời gian viết chương trình máy tính để tính ra đến hàng ngàn, chục ngàn, trăm ngàn, triệu chữ số thập phân của số Pi. Chắc chắn thực tế người ta không cần chính xác đến thế nhưng qua đó chúng ta có thể thấy, nếu muốn chính xác ta hoàn toàn có thể làm được, với tốc độ rất nhanh (mạng siêu máy tính).

Vậy máy tính lưu trữ số chấm động như thế nào?

Mình sẽ không nói chi tiết vì mình thấy nó lý thuyết quá và theo mình thấy không cần hiểu cặn cẽ như thế để hiểu được các phần tiếp theo của mình. Nhưng nếu thích bạn hoàn toàn có thể đọc ở đây.

Số chấm động trong máy tính được hỗ trợ sẵn theo chuẩn IEEE754, trong đó có 2 loại: số chấm động có độ chính xác đơn (float), số chấm động có độ chính xác kép (double).

Nôm na, float có thể biểu diễn được từ 6-7 chữ số nghĩa sau phần thập phân, double thì có thể chơi được gấp đôi từ 12-14 số có nghĩa.

Thế máy tính biểu diễn những số thực chấm động này như thế nào?

Mình sẽ ví dụ về kiểu float, kiểu double tương tự nhưng tăng gấp đôi lên nha .

Số thực dấu phẩy động được dùng để biểu diễn các số thực trong tính toán khoa học. Tổng quát một số thực X được biểu diễn theo kiểu số dấu phẩy động như sau: X = M*Re.

Trong đó:

• M là phần định trị (Mantissa)
• R là cơ số (Radix)
• E là phần mũ (Exponent)

Chuẩn IEEE754/85

• Cơ số R = 2
• Các dạng 32, 44, 64, 80 bít

Ví dụ dạng 32 bit

• S là bít dấu (số dương S = 0)
• e là mã excess của phần mũ E (e = E+127 hay E = e-127, số 127 ở đây là độ lệch bias)
• m là phần lẽ của phần định trị M (M = 1.m)

Do vậy công thức xác định giá trị số thực như sau: X = (-1)S * 1.m * 2e-127

Như vậy, một số float được gọi là không bị overflow nếu nó có thể biểu diễn thành dạng M*Re mà không còn phần nào "dôi ra" sau tính toán.

Mình sẽ khảo sát về thời gian và kết quả nhé. Xem nó chạy tốn bao nhiêu mi li giây.

Hai số n và x lần lượt là:

int   n = 6969;       //số n float x = 1.9921874;  //số x

#define FLOAT_POINT_SIZE  10


void setup() {
  Serial.begin(9600);//Mở serial ở baudrate 9600
  
  Serial.println("Ngo Huynh Ngoc Khanh - Arduino.vn");  //Xem như mở đầu ahihi
  
  int   n = 6969;       //số n
  float x = 1.9921874;  //số x

  //lặp 10 lần
  Serial.println(x, FLOAT_POINT_SIZE);
  for (int i = 0; i < 10; i++) {
    float y = 0; //tính y
    unsigned long start = millis();
    for (int j = 0; j < n; j++)
      y += x;
    unsigned long finish = millis();
    Serial.println(y, FLOAT_POINT_SIZE); //in kết quả ra màn hình
    unsigned long duration = finish - start;
    Serial.println(duration);
  }
}


void loop(){}

Theo như kết quả trên con promini của mình thì nó cần đến 61ms để thực hiện được một phép nhân mà kết quả cho ra cũng không khác gì so với phép * truyền thống (cần ít hơn 1ms).

Kết luận cho câu hỏi

Kết quả không khá hơn mà còn chậm hơn nhiều so với thực tế.